Noen mattekyndige her?

[Skilpadda]

Det bønna sier, ligner på et utgangspunkt for et induksjonsbevis.

Det du skal bevise, er at n x 9 har tverrsum lik 9 for alle n.

Se først på n = 1. 1 x 9 = 9, og tverrsummen av 9 er lik 9.

Så antar vi at det stemmer for n, og ser på n + 1.
(n + 1) x 9 = n x 9 + 9
Tverrsummen av n x 9 vet vi allerede at er lik 9, og hvis vi legger til 9, blir det 18, som har tverrsum lik 9. Dermed gjelder uttrykket også for n + 1, og da har vi bevist at det gjelder for alle n. QED

- Hvis du ikke forstår hvordan induksjonbevis virker, kan jeg prøve å forklare det etter lunsj.

Opprinnelig lagt inn av smilefjes, her.

Hvis du tar svaret til Esme og husker at titallsystemet går fra 0 til 9 så er du der.

Opprinnelig lagt inn av Skilpadda, her.

Det bønna sier, ligner på et utgangspunkt for et induksjonsbevis.

Det du skal bevise, er at n x 9 har tverrsum lik 9 for alle n.

Se først på n = 1. 1 x 9 = 9, og tverrsummen av 9 er lik 9.

Så antar vi at det stemmer for n, og ser på n + 1.
(n + 1) x 9 = n x 9 + 9
Tverrsummen av n x 9 vet vi allerede at er lik 9, og hvis vi legger til 9, blir det 18, som har tverrsum lik 9. Dermed gjelder uttrykket også for n + 1, og da har vi bevist at det gjelder for alle n. QED

- Hvis du ikke forstår hvordan induksjonbevis virker, kan jeg prøve å forklare det etter lunsj.

Og det her er beviset på at det virkelig er forskjell på insjenjør og sivvilinsjenjør.

[IdaM]

Veldig gjerne, Skilpadda

[Mauser]

Opprinnelig lagt inn av Skilpadda, her.

Det bønna sier, ligner på et utgangspunkt for et induksjonsbevis.

Det du skal bevise, er at n x 9 har tverrsum lik 9 for alle n.

Se først på n = 1. 1 x 9 = 9, og tverrsummen av 9 er lik 9.

Så antar vi at det stemmer for n, og ser på n + 1.
(n + 1) x 9 = n x 9 + 9
Tverrsummen av n x 9 vet vi allerede at er lik 9, og hvis vi legger til 9, blir det 18, som har tverrsum lik 9. Dermed gjelder uttrykket også for n + 1, og da har vi bevist at det gjelder for alle n. QED

Bare for n<11.

[Skilpadda]

Opprinnelig lagt inn av Mauser, her.

Bare for n<11.

Altså, jeg kom på etterpå at det steget ble for kjapt, ja. Det jeg jo egentlig hadde tenkt, var å bruke det som bønna var inne på, og påpeke at når man legger 9 til et tall, så øker tverrsummen enkelt og greit med 9 hvis tallet slutter på 0, og hvis tallet slutter på noe annet enn 0, så trekker man fra 1 på det siste sifferet og legger til 1 på det nest siste sifferet, noe som gjør at tverrsummen blir den samme som før.

Det finnes sikkert andre og enklere måter å bevise dette på - er ikke Chiffre her i dag, for eksempel?

[Chiffre]

Opprinnelig lagt inn av Skilpadda, her.

Det finnes sikkert andre og enklere måter å bevise dette på - er ikke Chiffre her i dag, for eksempel?

Tja, enklere og enklere, Mrs Bloom...

Det er altså sånn, som alfaCharlie påpekte, at et tall n er delelig med 9 hvis og bare hvis tverrsummen t(n) er delelig med 9. Dermed ender du til slutt opp med 9 hvis du tar sekvensen n, t(n), t(t(n)), ...

Men altså, hvorfor?
Tallet n har sifrene a_k a_(k-1) ... a2 a1 a0, altså er
n = a_k*10^k + a_(k-1) * 10^(k-1) + ... + a2 * 10^2 + a1*10 + a0

(altså: a0 er enerne, a1 tierne, a2 hundrerne osv :-)

tverrsummen er dermed t(n) = a_k + a_(k-1) + ... + a2 + a1 + a0

So far, so good. Nå må vi begynne å regne med kongruenser, og dermed mister jeg formodentlig en vesentlig andel av publikum. So be it. Skilpadda kan jo forklare kongruenser en dag hun får ånden over seg... :-)

Nå er 10 = 1 (modulo 9), og dermed

n = a_k*10^k + a_(k-1) * 10^(k-1) + ... + a2 * 10^2 + a1*10 + a0
= a_k*1^k + a_(k-1) * 1^(k-1) + ... + a2 * 1^2 + a1*1 + a0 (modulo 9)
= a_k + a_(k-1) + ... + a2 + a1 + a0 (modulo 9)

Dermed er n = 0 (modulo 9) hvis og bare hvis t(n) = 0 (modulo 9)

Som mye annet er det banalt nok, /hvis/ man har endel matematikkbakgrunn... Simon Singh har svjh en veldig bra og tilgjengelig illustrasjon av kongruenser og gruppeteori i "The Code Book". Den anbefales herved på det varmeste.

[Maverick]

Opprinnelig lagt inn av Chiffre, her.

Det er altså sånn, som alfaCharlie påpekte, at et tall n er delelig med 9 hvis og bare hvis tverrsummen t(n) er delelig med 9. Dermed ender du til slutt opp med 9 hvis du tar sekvensen n, t(n), t(t(n)), ...

Sa jeg det?

Åh, wiki-quoten.

[Chiffre]

Opprinnelig lagt inn av alfaCharlie, her.

Sa jeg det?

Åh, wiki-quoten.

Diagnose: Du er altfor ærlig :-)

[Maverick]

Opprinnelig lagt inn av Chiffre, her.

Diagnose: Du er altfor ærlig :-)

Tja, regner med at folket her kan lese, selv om de ikke kan regne.

...sa den rappkjefta semiøkonomen. Før hun husket å tenke før hun skrev.

[m^2]

Opprinnelig lagt inn av Chiffre, her.

Tja, enklere og enklere, Mrs Bloom...

Det er altså sånn, som alfaCharlie påpekte, at et tall n er delelig med 9 hvis og bare hvis tverrsummen t(n) er delelig med 9. Dermed ender du til slutt opp med 9 hvis du tar sekvensen n, t(n), t(t(n)), ...

Men altså, hvorfor?
Tallet n har sifrene a_k a_(k-1) ... a2 a1 a0, altså er
n = a_k*10^k + a_(k-1) * 10^(k-1) + ... + a2 * 10^2 + a1*10 + a0

(altså: a0 er enerne, a1 tierne, a2 hundrerne osv :-)

tverrsummen er dermed t(n) = a_k + a_(k-1) + ... + a2 + a1 + a0

So far, so good. Nå må vi begynne å regne med kongruenser, og dermed mister jeg formodentlig en vesentlig andel av publikum. So be it. Skilpadda kan jo forklare kongruenser en dag hun får ånden over seg... :-)

Nå er 10 = 1 (modulo 9), og dermed

n = a_k*10^k + a_(k-1) * 10^(k-1) + ... + a2 * 10^2 + a1*10 + a0
= a_k*1^k + a_(k-1) * 1^(k-1) + ... + a2 * 1^2 + a1*1 + a0 (modulo 9)
= a_k + a_(k-1) + ... + a2 + a1 + a0 (modulo 9)

Dermed er n = 0 (modulo 9) hvis og bare hvis t(n) = 0 (modulo 9)

Som mye annet er det banalt nok, /hvis/ man har endel matematikkbakgrunn... Simon Singh har svjh en veldig bra og tilgjengelig illustrasjon av kongruenser og gruppeteori i "The Code Book". Den anbefales herved på det varmeste.

åh :svermer:
Minner meg om hine matlabdager, av en eller annen grunn (før alt dette visual-tøvet). Ser dere at det er samme ^ som i nicket mitt?

[oslo78]

Opprinnelig lagt inn av Mauser, her.

Bare for n<11.

Er jeg dum nå? Tverrsummen er da fortsatt 9 selv om du kommer mye lenger opp i gangetabellen:

9*12=108
9*13= 117
9*14 = 126
9*15 = 135

Er jeg på bærtur, Mauser?

[Mauser]

Opprinnelig lagt inn av oslo78, her.

Er jeg dum nå? Tverrsummen er da fortsatt 9 selv om du kommer mye lenger opp i gangetabellen:

9*12=108
9*13= 117
9*14 = 126
9*15 = 135

Er jeg på bærtur, Mauser?

Det gjelder f eks ikke for 9*11, 9*21, 9*22, ... i første generasjons tverrsum. Men tverrsummen av tverrsummen blir 9. Det hadde vært interessant å se et utvidet bevis for høye n.

[Skilpadda]

Opprinnelig lagt inn av Mauser, her.

Det gjelder f eks ikke for 9*11, 9*21, 9*22, ...

Tverrsummen er 9 for disse, jo, når den blir redusert (eller hva det nå heter) til ett siffer. Jeg trodde du snakket om formuleringen min i beviset, ikke om selve regelen?

[apan]

Men 9*11=99 som har tverrsum 18, som igjen har tverrsum 9.

[bønna]

Opprinnelig lagt inn av Mauser, her.

Det gjelder f eks ikke for 9*11, 9*21, 9*22, ...

???

Alle disse har tverrsum 9?

9*11=99
9*21=189
9*22=198

[Storm]

Opprinnelig lagt inn av Skilpadda, her.

Det bønna sier, ligner på et utgangspunkt for et induksjonsbevis.

Det du skal bevise, er at n x 9 har tverrsum lik 9 for alle n.

Se først på n = 1. 1 x 9 = 9, og tverrsummen av 9 er lik 9.

Så antar vi at det stemmer for n, og ser på n + 1.
(n + 1) x 9 = n x 9 + 9
Tverrsummen av n x 9 vet vi allerede at er lik 9, og hvis vi legger til 9, blir det 18, som har tverrsum lik 9. Dermed gjelder uttrykket også for n + 1, og da har vi bevist at det gjelder for alle n. QED

- Hvis du ikke forstår hvordan induksjonbevis virker, kan jeg prøve å forklare det etter lunsj.

Hvordan vet vi det?

[Skilpadda]

Opprinnelig lagt inn av MinaX, her.

Hvordan vet vi det?

Det var en del av antagelsen. Det vi beviste i den andre delen her, er at "gitt at det gjelder for n, så gjelder det også for (n +1)", og da kan vi bruke det at det gjelder for n i beviset. Det er sånn induksjonsbevis fungerer.

[Storm]

Opprinnelig lagt inn av Skilpadda, her.

Det var en del av antagelsen. Det vi beviste i den andre delen her, er at "gitt at det gjelder for n, så gjelder det også for (n +1)", og da kan vi bruke det at det gjelder for n i beviset. Det er sånn induksjonsbevis fungerer.

Takk, da skjønner jeg. Jeg er imponert over at du sånn rett ut av hodet kan føre et induksjonsbevis! Det er vel noen år siden du studerte det og du jobber jo ikke med det.

[Kjøkkenskriveren]

Opprinnelig lagt inn av MinaX, her.

Takk, da skjønner jeg. Jeg er imponert over at du sånn rett ut av hodet kan føre et induksjonsbevis! Det er vel noen år siden du studerte det og du jobber jo ikke med det.

Enkelte ting har man gjort så mange ganger at det har blitt drillet inn i ryggmargen.

Siden vi holder på med matematikervitser, så kan jeg en om en professor som ble mobbet på arbeidsplassen.

En dag kom han inn på kontoret og oppdaget at noen hadde satt papirkurven på skrivebordet hans og satt fyr på den. Snarrådig tok han brannslukningsapparatet som var forskriftsmessig utplassert, og slukket brannen før den fikk gjort noen skade. Så tok han sine notater og gikk for å holde forelesning.

Dagen etter kom han inn på kontoret igjen og oppdaget at noen hadde satt fyr på papirkurven igjen, der den stod på plassen sin på gulvet. Snarrådig tok han tak i kanten på den og løftet den opp på skrivebordet. Siden han nå hadde redusert problemet til et med kjent løsning, tok han fornøyd sine notater og gikk for å holde forelesning.

[banana]

:akademiker: