Jeg får ikke taket på logaritmer

[skyfri]

Never ending story, skyfri trenger mattehjelp igjen.
Det er forhåpentligvis slutt på maset om en måneds tid.

Jeg har kommet til logaritmer i boka mi, og har tygget på de første sidene i kapittelet en stund. Men det virker som det er ett eller annet det forutsettes at jeg vet, som jeg altså ikke vet, for jeg skjønner ikke helt hvordan jeg skal gripe oppgavene fatt ...

Oppgave 4.17 for de som har samme bok som meg.

Løs likningene

a) e^x=5

Skal jeg vise noen utregning, eller skal jeg bare vite at e^ln5 = 5?


b) e^(x^2+3x)=10

Her har jeg satt (spør meg ikke hvorfor jeg prøver å herme etter eksemplene i boka)
x^2+3x=ln10
x^2+3x-ln10=0

Og så har jeg løst det med formelen for løsning av 2.gradslikninger og fått til svar x=0,6337 og x=-3,6337 (Og fasiten sier det er riktig.)

Er det slik jeg skal løse det? Jeg føler meg på veldig gyngende grunn. Jeg aner egentlig ikke hva jeg holder på med...

En til

c) (lnx)^2-5lnx+6=0

Jeg setter inn i den nevnte formelen for 2. gradslikning og får x=2 og x=3
Det er ikke helt på bærtur for fasiten sier e^3 og e^2.
Men jeg skjønner ikke helt hvordan jeg skal komme fra x=2 til e^2 ??

Som dere skjønner er jeg ute å kjøre.. Jeg har tygget på dette i noen dager nå, og jeg blir ikke klokere.

[Stikka]

a) Ja at ln og e "utligner" hverandre må du ha lært før du begynner med slike oppgaver. (Samme som med log og 10.) Ingen utregning trengs å vises for at det blir sånn.

b) Det er riktig. ln10 er jo bare et vanlig tall.

c) Det du gjør er å bytte ut lnx med x. Da kan du løse annengradsligningen. Da får du til svar at x=2 og x=3. Så bytter du tilbake x med lnx og løser med hensyn på x. Da får du svarene e^2 og e^3.

[skyfri]

Takk Stikka.

Jeg har konferert med støttelitteraturen min ("Matte med teskje") og har lest kapittelet i pensumboka mi en gang til.

a) Den er grei. Jeg ser at nettopp dette er skrevet opp som en definisjon, altså at hvis e^b= a er det samme som b=ln a

b) Den er også grei.

c) Trenger mer teskje.
(Det stopper opp på: Bytt tilbake x med lnx, og løs med hensyn på det.)

[Stikka]

c) (lnx)^2-5lnx+6=0

Vi kan bruke u som hjelpevariabel for å gjøre det tydligere. Sett lnx=u
Regnestykket blir da: u^2-5u+6=0
Løser denne 2.gradsligningen og får u=2 og u=3
Bytter tilbake hjelpevariabelen u med lnx igjen og får da lnx=2 og lnx=3
Løser med hensyn på x og svaret blir da x=e^2 og x=e^3

Hjalp dette?

[skyfri]

Opprinnelig lagt inn av Stikka, her.

c) (lnx)^2-5lnx+6=0

Vi kan bruke u som hjelpevariabel for å gjøre det tydligere. Sett lnx=u
Regnestykket blir da: u^2-5u+6=0
Løser denne 2.gradsligningen og får u=2 og u=3

So far so good.

Opprinnelig lagt inn av Stikka, her.

Bytter tilbake hjelpevariabelen u med lnx igjen og får da lnx=2 og lnx=3
Løser med hensyn på x og svaret blir da x=e^2 og x=e^3

Hjalp dette?

Det er dette jeg ikke skjønner.

Nå har jeg lest om logaritmer opp og ned, og jeg får til å regne de aller enkleste oppgavene. Men så stopper det helt opp, og jeg skjønner ikkeno. Og jeg har som pensum å derivere logaritmefunksjoner også.
Jeg skal ta det med på jobb i morgen til en kollega som er god i matte, og hjelper ikke det så lar jeg hele logaritmestyret ligge. Jeg har brukt så mye tid på dette, og kommer ikke videre. :sliten og lei:

Takk for at du prøver å hjelpe, Stikka.

[valborg]

Du må ikke gi opp på det siste punktet i Stikkas forklaring, du er nesten i mål! Se på u som en hjelpevariabel, du substituerer lnx med u, kun for enklere å få oversikt over andregradslikningen. Når du da får to ulike løsninger for u, har du egentlig fått to ulike løsninger for hva lnx kan være. Og målet ditt med hele oppgaven er jo å finne x, og derfor må de to siste likningene løses mhp x. Du ender altså opp med to logaritmelikninger, som et resultat av at den du startet med var en logaritmelikning av andre grad.

PS: Husk å sjekke at x-verdier du får er gyldige løsninger på likningen; når du har uttrykk med lnx må x>0.

[Stikka]

Hvis du henger med på det første byttet så er mye gjort altså.

u er jo egentlig lnx. Vi byttet ut lnx med u for å få løst 2.gradsligningen. Hit er du med, ikke sant?

Svaret vi får er at u er enten 2 eller 3. Men det er ikke u vi vil vite hva er, det er x. Så da bytter vi bare ut u med lnx igjen.

Altså u=2 blir lnx=2 og løser den med hensyn på x. Altså få x alene. Det gjør vi ved å opphøye begge i e. Får da e^lnx=e^2
Vi vet at e og ln "utligner" hverandre. (Det er det samme om det står ln^e eller e^ln, se definisjonen din fra a)
Da blir x=e^2 Det samme gjøres for u=3

[skyfri]

Opprinnelig lagt inn av Stikka, her.

...
Altså u=2 blir lnx=2 og løser den med hensyn på x. Altså få x alene. Det gjør vi ved å opphøye begge i e. Får da e^lnx=e^2
Vi vet at e og ln "utligner" hverandre. (Det er det samme om det står ln^e eller e^ln, se definisjonen din fra a)
Da blir x=e^2 Det samme gjøres for u=3

Hmm, det er noe heromkring jeg sliter med ja.
Jeg tror jeg skjønner hvorfor vi får e^lnx=e^2
Men så var det det med utligner.. Vi fjerner altså e^ln på venstre side av likhetstegnet? Bare sånn uten videre?

[Lille meg]

Opprinnelig lagt inn av skyfri, her.

Men så var det det med utligner.. Vi fjerner altså e^ln på venstre side av likhetstegnet? Bare sånn uten videre?

.. fordi, som du selv skriver i et tidligere innlegg:

Opprinnelig lagt inn av skyfri, her.

a) Den er grei. Jeg ser at nettopp dette er skrevet opp som en definisjon, altså at hvis e^b= a er det samme som b=ln a

... noe som jo gir deg at e^ln(a) = a - eller e^ln(x) = x

[Stikka]

Opprinnelig lagt inn av skyfri, her.

Hmm, det er noe heromkring jeg sliter med ja.
Jeg tror jeg skjønner hvorfor vi får e^lnx=e^2
Men så var det det med utligner.. Vi fjerner altså e^ln på venstre side av likhetstegnet? Bare sånn uten videre?

e^ln forsvinner ja. Så da står vi bare igjen med x. Samme om vi hadde hatt ln e^x. ln e forsvinner og vi står bare igjen med x

Definisjonen din sier jo: e^b= a er det samme som b=ln a
Det som skjer er jo at man setter ln foran på begge sider ln e^b = ln a
Så "utlignes" ln e og man står igjen med b på venstre side, b = ln a

Det samme gjelder for lnb = a er det samme som b = e^a
Man setter opphøyer i e på begge sider, e lnb = e^a
e ln "utlignes" og det blir bare b på venstre side, b = e^a