Noen mattekyndige her?

[IdaM]

Hjelp...! Oppgaven lyder som følgende: "I tabellen for nigangen, kan du se at tverrsummen av hvert produkt er lik 9. Hvorfor er det slik?"
Jepp, HVORFOR er det egentlig slik? Kjenner jeg blir irritert på lærere som alltid har sagt "Det må du bare godta"

[Maverick]

Fordi alle tallene har blitt ganget med 9?

[Inagh]

"Fordi du kan få det på eksamen!"

(Standardsvaret til min lærer i sin tid.)

Og ellers kan jeg ikke bidra med noe som helst hva matematikk angår.

[Adrienne]

Dette har jeg alltid lurt på. :venter på Mauser eller Skilpadda eller noen andre smartinger:

[IdaM]

Det kan ikke være så enkelt. Hvorfor er det ikke slik med feks 3 gangen da? Hm, nei det må nok være noe mer lureri her gitt

[Skilpadda]

Opprinnelig lagt inn av IdaM, her.

Det kan ikke være så enkelt. Hvorfor er det ikke slik med feks 3 gangen da?

Det er slik for 3-gangen. Men ikke med de andre gangene.

[IdaM]

Opprinnelig lagt inn av Skilpadda, her.

Det er slik for 3-gangen. Men ikke med de andre gangene.

Skikkelig heldig med det skuddet der da

[Maverick]

Fra Wiki:

Sitat:

Et tall er delelig med 9 hvis og bare hvis tverrsummen er delelig med 9. Det er det samme som at den minste tverrsummen er lik 9

Men hvorfor? Næh. Svar 42, du.

[Esme]

Det er vel generelt sånn at gangetabellen for det tallet som er mindre enn basen (for 10-tallssystemet blir det altså 9) så er tverrsummen lik tallet.

I et 8-tallssystem vil 7-gangen være 1-7-16-25-34-43 etc altså tverrsum 7.

Hvorfor det er sånn igjen, må jeg tenke litt på.

[bønna]

Tja... det har ikke jeg lært.
Men det ene tallet øker med 1, det andre tallet minsker med 1. Og da blir tverrsummen lik.

09
18
27
36

første tallet 0,1,2,3....
andre tallet 9,8,7,6....

Men en forklaring på hvorfor... nei det var vanskelig.

[IdaM]

Jeg har tenkt at det kanskje kan ha noe med titallsystemet å gjøre og at 9 egentlig er det "høyeste" tallet vi har, men kommer ikke noe nærmere en forklaring gitt

Hvis du tar svaret til Esme og husker at titallsystemet går fra 0 til 9 så er du der.

[Skilpadda]

Det bønna sier, ligner på et utgangspunkt for et induksjonsbevis.

Det du skal bevise, er at n x 9 har tverrsum lik 9 for alle n.

Se først på n = 1. 1 x 9 = 9, og tverrsummen av 9 er lik 9.

Så antar vi at det stemmer for n, og ser på n + 1.
(n + 1) x 9 = n x 9 + 9
Tverrsummen av n x 9 vet vi allerede at er lik 9, og hvis vi legger til 9, blir det 18, som har tverrsum lik 9. Dermed gjelder uttrykket også for n + 1, og da har vi bevist at det gjelder for alle n. QED

- Hvis du ikke forstår hvordan induksjonbevis virker, kan jeg prøve å forklare det etter lunsj.

Opprinnelig lagt inn av smilefjes, her.

Hvis du tar svaret til Esme og husker at titallsystemet går fra 0 til 9 så er du der.

Opprinnelig lagt inn av Skilpadda, her.

Det bønna sier, ligner på et utgangspunkt for et induksjonsbevis.

Det du skal bevise, er at n x 9 har tverrsum lik 9 for alle n.

Se først på n = 1. 1 x 9 = 9, og tverrsummen av 9 er lik 9.

Så antar vi at det stemmer for n, og ser på n + 1.
(n + 1) x 9 = n x 9 + 9
Tverrsummen av n x 9 vet vi allerede at er lik 9, og hvis vi legger til 9, blir det 18, som har tverrsum lik 9. Dermed gjelder uttrykket også for n + 1, og da har vi bevist at det gjelder for alle n. QED

- Hvis du ikke forstår hvordan induksjonbevis virker, kan jeg prøve å forklare det etter lunsj.

Og det her er beviset på at det virkelig er forskjell på insjenjør og sivvilinsjenjør.

[IdaM]

Veldig gjerne, Skilpadda

[Mauser]

Opprinnelig lagt inn av Skilpadda, her.

Det bønna sier, ligner på et utgangspunkt for et induksjonsbevis.

Det du skal bevise, er at n x 9 har tverrsum lik 9 for alle n.

Se først på n = 1. 1 x 9 = 9, og tverrsummen av 9 er lik 9.

Så antar vi at det stemmer for n, og ser på n + 1.
(n + 1) x 9 = n x 9 + 9
Tverrsummen av n x 9 vet vi allerede at er lik 9, og hvis vi legger til 9, blir det 18, som har tverrsum lik 9. Dermed gjelder uttrykket også for n + 1, og da har vi bevist at det gjelder for alle n. QED

Bare for n<11.

[Skilpadda]

Opprinnelig lagt inn av Mauser, her.

Bare for n<11.

Altså, jeg kom på etterpå at det steget ble for kjapt, ja. Det jeg jo egentlig hadde tenkt, var å bruke det som bønna var inne på, og påpeke at når man legger 9 til et tall, så øker tverrsummen enkelt og greit med 9 hvis tallet slutter på 0, og hvis tallet slutter på noe annet enn 0, så trekker man fra 1 på det siste sifferet og legger til 1 på det nest siste sifferet, noe som gjør at tverrsummen blir den samme som før.

Det finnes sikkert andre og enklere måter å bevise dette på - er ikke Chiffre her i dag, for eksempel?

[Chiffre]

Opprinnelig lagt inn av Skilpadda, her.

Det finnes sikkert andre og enklere måter å bevise dette på - er ikke Chiffre her i dag, for eksempel?

Tja, enklere og enklere, Mrs Bloom...

Det er altså sånn, som alfaCharlie påpekte, at et tall n er delelig med 9 hvis og bare hvis tverrsummen t(n) er delelig med 9. Dermed ender du til slutt opp med 9 hvis du tar sekvensen n, t(n), t(t(n)), ...

Men altså, hvorfor?
Tallet n har sifrene a_k a_(k-1) ... a2 a1 a0, altså er
n = a_k*10^k + a_(k-1) * 10^(k-1) + ... + a2 * 10^2 + a1*10 + a0

(altså: a0 er enerne, a1 tierne, a2 hundrerne osv :-)

tverrsummen er dermed t(n) = a_k + a_(k-1) + ... + a2 + a1 + a0

So far, so good. Nå må vi begynne å regne med kongruenser, og dermed mister jeg formodentlig en vesentlig andel av publikum. So be it. Skilpadda kan jo forklare kongruenser en dag hun får ånden over seg... :-)

Nå er 10 = 1 (modulo 9), og dermed

n = a_k*10^k + a_(k-1) * 10^(k-1) + ... + a2 * 10^2 + a1*10 + a0
= a_k*1^k + a_(k-1) * 1^(k-1) + ... + a2 * 1^2 + a1*1 + a0 (modulo 9)
= a_k + a_(k-1) + ... + a2 + a1 + a0 (modulo 9)

Dermed er n = 0 (modulo 9) hvis og bare hvis t(n) = 0 (modulo 9)

Som mye annet er det banalt nok, /hvis/ man har endel matematikkbakgrunn... Simon Singh har svjh en veldig bra og tilgjengelig illustrasjon av kongruenser og gruppeteori i "The Code Book". Den anbefales herved på det varmeste.

[Maverick]

Opprinnelig lagt inn av Chiffre, her.

Det er altså sånn, som alfaCharlie påpekte, at et tall n er delelig med 9 hvis og bare hvis tverrsummen t(n) er delelig med 9. Dermed ender du til slutt opp med 9 hvis du tar sekvensen n, t(n), t(t(n)), ...

Sa jeg det?

Åh, wiki-quoten.

[m^2]

Opprinnelig lagt inn av Chiffre, her.

Tja, enklere og enklere, Mrs Bloom...

Det er altså sånn, som alfaCharlie påpekte, at et tall n er delelig med 9 hvis og bare hvis tverrsummen t(n) er delelig med 9. Dermed ender du til slutt opp med 9 hvis du tar sekvensen n, t(n), t(t(n)), ...

Men altså, hvorfor?
Tallet n har sifrene a_k a_(k-1) ... a2 a1 a0, altså er
n = a_k*10^k + a_(k-1) * 10^(k-1) + ... + a2 * 10^2 + a1*10 + a0

(altså: a0 er enerne, a1 tierne, a2 hundrerne osv :-)

tverrsummen er dermed t(n) = a_k + a_(k-1) + ... + a2 + a1 + a0

So far, so good. Nå må vi begynne å regne med kongruenser, og dermed mister jeg formodentlig en vesentlig andel av publikum. So be it. Skilpadda kan jo forklare kongruenser en dag hun får ånden over seg... :-)

Nå er 10 = 1 (modulo 9), og dermed

n = a_k*10^k + a_(k-1) * 10^(k-1) + ... + a2 * 10^2 + a1*10 + a0
= a_k*1^k + a_(k-1) * 1^(k-1) + ... + a2 * 1^2 + a1*1 + a0 (modulo 9)
= a_k + a_(k-1) + ... + a2 + a1 + a0 (modulo 9)

Dermed er n = 0 (modulo 9) hvis og bare hvis t(n) = 0 (modulo 9)

Som mye annet er det banalt nok, /hvis/ man har endel matematikkbakgrunn... Simon Singh har svjh en veldig bra og tilgjengelig illustrasjon av kongruenser og gruppeteori i "The Code Book". Den anbefales herved på det varmeste.

åh :svermer:
Minner meg om hine matlabdager, av en eller annen grunn (før alt dette visual-tøvet). Ser dere at det er samme ^ som i nicket mitt?