Gå tilbake   Foreldreportalen > FPForum > Kommunikasjon > Divines spør-og-lær-forum

Noen mattekyndige her?

Divines spør-og-lær-forum Spør om alt mulig du lurer på - kanskje er det noen som kan svare.

Svar
 
Trådverktøy Visningsmåter
Gammel 09-09-09, 13:42   #21
Storm
En som trener
 
Storm sin avatar
 
Medlem siden: Sep 2006
Innlegg: 10.642
Blogginnlegg: 145
Storm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme om
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Opprinnelig lagt inn av Skilpadda, her.

Det bønna sier, ligner på et utgangspunkt for et induksjonsbevis.

Det du skal bevise, er at n x 9 har tverrsum lik 9 for alle n.

Se først på n = 1. 1 x 9 = 9, og tverrsummen av 9 er lik 9.

Så antar vi at det stemmer for n, og ser på n + 1.
(n + 1) x 9 = n x 9 + 9
Tverrsummen av n x 9 vet vi allerede at er lik 9, og hvis vi legger til 9, blir det 18, som har tverrsum lik 9. Dermed gjelder uttrykket også for n + 1, og da har vi bevist at det gjelder for alle n. QED

- Hvis du ikke forstår hvordan induksjonbevis virker, kan jeg prøve å forklare det etter lunsj.

Hvordan vet vi det?

Storm er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 13:43   #22
annemede
Ser lyst på livet
 
annemede sin avatar
 
Medlem siden: Sep 2006
Innlegg: 17.619
Blogginnlegg: 240
annemede har en fantastisk fremtidannemede har en fantastisk fremtidannemede har en fantastisk fremtidannemede har en fantastisk fremtidannemede har en fantastisk fremtidannemede har en fantastisk fremtidannemede har en fantastisk fremtidannemede har en fantastisk fremtidannemede har en fantastisk fremtidannemede har en fantastisk fremtidannemede har en fantastisk fremtid
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Sp, jeg forstod den ikke. Og hvorfor hoppet du over 7?

annemede er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 13:47   #23
Skilpadda
flisespikker
 
Skilpadda sin avatar
 
Medlem siden: Sep 2006
Hvor: Oslo
Innlegg: 35.075
Blogginnlegg: 673
Skilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme om
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Opprinnelig lagt inn av Mauser, her.

Bare for n<11.

Altså, jeg kom på etterpå at det steget ble for kjapt, ja. Det jeg jo egentlig hadde tenkt, var å bruke det som bønna var inne på, og påpeke at når man legger 9 til et tall, så øker tverrsummen enkelt og greit med 9 hvis tallet slutter på 0, og hvis tallet slutter på noe annet enn 0, så trekker man fra 1 på det siste sifferet og legger til 1 på det nest siste sifferet, noe som gjør at tverrsummen blir den samme som før.

Det finnes sikkert andre og enklere måter å bevise dette på - er ikke Chiffre her i dag, for eksempel?

__________________
Skilpadda (mars 1970) og Datteren (des. 2002)
Men are from Earth. Women are from Earth. Deal with it.
Skilpadda er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 13:48   #24
Skilpadda
flisespikker
 
Skilpadda sin avatar
 
Medlem siden: Sep 2006
Hvor: Oslo
Innlegg: 35.075
Blogginnlegg: 673
Skilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme om
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Opprinnelig lagt inn av MinaX, her.

Hvordan vet vi det?

Det var en del av antagelsen. Det vi beviste i den andre delen her, er at "gitt at det gjelder for n, så gjelder det også for (n +1)", og da kan vi bruke det at det gjelder for n i beviset. Det er sånn induksjonsbevis fungerer.

__________________
Skilpadda (mars 1970) og Datteren (des. 2002)
Men are from Earth. Women are from Earth. Deal with it.
Skilpadda er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 13:51   #25
Skilpadda
flisespikker
 
Skilpadda sin avatar
 
Medlem siden: Sep 2006
Hvor: Oslo
Innlegg: 35.075
Blogginnlegg: 673
Skilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme om
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Opprinnelig lagt inn av annemede, her.

Sp, jeg forstod den ikke. Og hvorfor hoppet du over 7?

Fnis. Jeg hoppet over 7 fordi jeg hadde for lavt blodsukker - det skulle absolutt vært med. (Jeg retter det i vitseinnlegget, så jeg slipper å forvirre eventuelt sent ankomne lesere.)

Poenget er å henge ut svakhetene til de enkelte gruppene. Den livs- og virkelighetsfjerne matematikeren "beviser" ved å anta at det fortsetter å gjelde for alle tall fordi det gjelder for de par første, uten å se på hva som faktisk skjer når man kommer lengre ut i tallrekken. Den unøyaktige fysikeren velger å se bort fra "målinger" som ikke passer overens med den teorien vedkommende tror er sann. Og den teite ingeniøren vet ikke at 9 ikke er et primtall.

__________________
Skilpadda (mars 1970) og Datteren (des. 2002)
Men are from Earth. Women are from Earth. Deal with it.

Sist redigert av Skilpadda : 09-09-09 kl 14:01.
Skilpadda er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 13:52   #26
Maverick
Offline
 
Maverick sin avatar
 
Medlem siden: Sep 2006
Hvor: Oslo
Innlegg: 50.284
Blogginnlegg: 1261
Maverick har et rykte de fleste bare kan drømme omMaverick har et rykte de fleste bare kan drømme omMaverick har et rykte de fleste bare kan drømme omMaverick har et rykte de fleste bare kan drømme omMaverick har et rykte de fleste bare kan drømme omMaverick har et rykte de fleste bare kan drømme omMaverick har et rykte de fleste bare kan drømme omMaverick har et rykte de fleste bare kan drømme omMaverick har et rykte de fleste bare kan drømme omMaverick har et rykte de fleste bare kan drømme omMaverick har et rykte de fleste bare kan drømme om
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Håkkei, det er mange tråder det blir sagt er typisk FP, men dette er jo kroneksempelet!

Maverick er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 13:52   #27
Storm
En som trener
 
Storm sin avatar
 
Medlem siden: Sep 2006
Innlegg: 10.642
Blogginnlegg: 145
Storm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme omStorm har et rykte de fleste bare kan drømme om
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Opprinnelig lagt inn av Skilpadda, her.

Det var en del av antagelsen. Det vi beviste i den andre delen her, er at "gitt at det gjelder for n, så gjelder det også for (n +1)", og da kan vi bruke det at det gjelder for n i beviset. Det er sånn induksjonsbevis fungerer.

Takk, da skjønner jeg. Jeg er imponert over at du sånn rett ut av hodet kan føre et induksjonsbevis! Det er vel noen år siden du studerte det og du jobber jo ikke med det.

Storm er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 13:53   #28
Slettet bruker
Passiv
 
Innlegg: n/a
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Opprinnelig lagt inn av alfaCharlie, her.

Håkkei, det er mange tråder det blir sagt er typisk FP, men dette er jo kroneksempelet!

:dobbeltsnurt faktisk:

Er det lizzom pk å disse ærlige arbæisfålk å nå?

  Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 13:56   #29
apan
I mål
 
apan sin avatar
 
Medlem siden: Sep 2006
Hvor: Oslo
Innlegg: 26.992
Blogginnlegg: 84
apan har et rykte de fleste bare kan drømme omapan har et rykte de fleste bare kan drømme omapan har et rykte de fleste bare kan drømme omapan har et rykte de fleste bare kan drømme omapan har et rykte de fleste bare kan drømme omapan har et rykte de fleste bare kan drømme omapan har et rykte de fleste bare kan drømme omapan har et rykte de fleste bare kan drømme omapan har et rykte de fleste bare kan drømme omapan har et rykte de fleste bare kan drømme omapan har et rykte de fleste bare kan drømme om
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Som matematiker er jeg superhappy med å se et induksjonsbevis, og kan altså informere om at et slikt bevis fungerer på den måten at man viser det for n=1. Deretter antar man at det stemmer for n, og viser at det, gitt at det stemmer for n, også stemmer for n+1. Da har man bevist dette (så kan man evt ha en øvre grense der det ikke funker lenger. Det kommer litt ved siden av).

Grunnen til at dette fungerer er at hvis man da har vist at det stemmer for n=1, vil det også stemme for n=2, fordi man har vist at det stemmer for n+1 gitt at det stemmer for n. Deretter lar man liksom n være 2, og da vet vi at det stemmer for n+1, altså 3. Og så går vi oppover. Rask og sikkert upedagogisk forklaring.

__________________
Storebror (2005), lillestoresøster (2010) og lillebror (juli 2015)
apan er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 13:59   #30
Skilpadda
flisespikker
 
Skilpadda sin avatar
 
Medlem siden: Sep 2006
Hvor: Oslo
Innlegg: 35.075
Blogginnlegg: 673
Skilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme om
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Induksjonsbevis, ja. Det er en type bevis som man typisk bruker for å bevise at en eller annen påstand gjelder for alle tall. Det går selvsagt ikke an å vise det for hvert enkelt tall, siden det er uendelig mange av dem, men vi begynner med å bevise at det gjelder når tallet er 0 eller 1, noe som vanligvis er ganske enkelt.

Punkt 1 i beviset er altså: Bevis at påstanden gjelder for n = 1.

Så tenker vi oss at vi går til et tilfeldig sted i tallrekken, til tallet n, og at vi har bevist at påstanden gjelder for alle tall helt frem dit. (Det kan vi jo gjøre, hvis vi vil, ved å ta for oss hvert eneste tall opp til n.) Vi vet altså at påstanden gjelder for tallet n, og så bruker vi dette til å vise at i så fall gjelder det også for det neste tallet i tallrekken.

Punkt 2 i beviset er altså: Bevis at dersom påstanden gjelder for n, gjelder den også for n + 1.

- Og da er vi faktisk fremme. For vi vet at påstanden gjelder for det første tallet i tallrekken (punkt 1), og da vet vi, iflg. punkt 2, at den også gjelder for det andre tallet i tallrekken. Og siden den gjelder for det andre tallet, gjelder den også for det tredje. Og det samme argumentet kan brukes for absolutt alle tall oppover i tallrekken, og dermed gjelder påstanden for alle tall.

En illustrasjon som noen synes gjør det enklere å godta prinsippet, er å se for seg en stige. Punkt 1 tilsvarer å bevise at du greier å komme deg opp på det første trinnet til stigen. Punkt 2 tilsvarer å bevise at dersom du står på ett bestemt trinn, greier du å komme deg opp på det neste. Og har man bevist disse tingene, vet man at man kan komme seg til et hvilket som helst trinn på stigen.

__________________
Skilpadda (mars 1970) og Datteren (des. 2002)
Men are from Earth. Women are from Earth. Deal with it.
Skilpadda er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 14:07   #31
m^2
Bør lage seg en tittel selv
 
m^2 sin avatar
 
Medlem siden: Sep 2006
Innlegg: 13.920
Blogginnlegg: 122
m^2 har et rykte de fleste bare kan drømme omm^2 har et rykte de fleste bare kan drømme omm^2 har et rykte de fleste bare kan drømme omm^2 har et rykte de fleste bare kan drømme omm^2 har et rykte de fleste bare kan drømme omm^2 har et rykte de fleste bare kan drømme omm^2 har et rykte de fleste bare kan drømme omm^2 har et rykte de fleste bare kan drømme omm^2 har et rykte de fleste bare kan drømme omm^2 har et rykte de fleste bare kan drømme omm^2 har et rykte de fleste bare kan drømme om
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

:tørker tårer:
Å guri, den vitsen hadde jeg ikke hørt skilpadda!

m^2 er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 14:10   #32
bønna
Deltidsmamma
 
bønna sin avatar
 
Medlem siden: Feb 2007
Hvor: 25 min fra Oslo.
Innlegg: 1.697
Blogginnlegg: 4
bønna er populærbønna er populærbønna er populærbønna er populær
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Det var flott repetisjon, Skilpadda! :Inponert:
Utrolig hva man lærer av FP..

bønna er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 14:19   #33
IdaM
Aktiv
 
Medlem siden: Feb 2008
Innlegg: 137
IdaM har et hav av muligheter foran seg
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Tuuuuusen takk for hjelpen!!! Det lettet studenthjertet mitt gitt, helt til neste problemstilling dukker opp

__________________
Storesøster 02
Lillesøster og Lillebror 07
IdaM er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 14:29   #34
Skilpadda
flisespikker
 
Skilpadda sin avatar
 
Medlem siden: Sep 2006
Hvor: Oslo
Innlegg: 35.075
Blogginnlegg: 673
Skilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme om
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Er det greit om jeg flytter denne tråden til Divines spør-og-lær-forum i det åpne området? Den hører i grunnen åpenbart hjemme der.

__________________
Skilpadda (mars 1970) og Datteren (des. 2002)
Men are from Earth. Women are from Earth. Deal with it.
Skilpadda er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 14:31   #35
IdaM
Aktiv
 
Medlem siden: Feb 2008
Innlegg: 137
IdaM har et hav av muligheter foran seg
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Flytt i vei du

__________________
Storesøster 02
Lillesøster og Lillebror 07
IdaM er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 14:47   #36
oslo78
Er frisk!
 
oslo78 sin avatar
 
Medlem siden: Sep 2008
Innlegg: 9.786
Blogginnlegg: 28
oslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt av
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Opprinnelig lagt inn av Mauser, her.

Bare for n<11.

Er jeg dum nå? Tverrsummen er da fortsatt 9 selv om du kommer mye lenger opp i gangetabellen:

9*12=108
9*13= 117
9*14 = 126
9*15 = 135

Er jeg på bærtur, Mauser?

__________________
Oslo78 - verdens heldigste mamma til Storebror 04, Storesøster 06 og Lillebror 10
oslo78 er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 14:48   #37
Skilpadda
flisespikker
 
Skilpadda sin avatar
 
Medlem siden: Sep 2006
Hvor: Oslo
Innlegg: 35.075
Blogginnlegg: 673
Skilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme om
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Mauser påpekte at beviset mitt ikke var komplett for n > 11, ikke at regelen ikke gjelder da.

__________________
Skilpadda (mars 1970) og Datteren (des. 2002)
Men are from Earth. Women are from Earth. Deal with it.
Skilpadda er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 14:51   #38
oslo78
Er frisk!
 
oslo78 sin avatar
 
Medlem siden: Sep 2008
Innlegg: 9.786
Blogginnlegg: 28
oslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt avoslo78 har mye å være stolt av
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Opprinnelig lagt inn av Skilpadda, her.

Mauser påpekte at beviset mitt ikke var komplett for n > 11, ikke at regelen ikke gjelder da.

Takk skal du ha. Begynte å føle meg litt paranoid her.

__________________
Oslo78 - verdens heldigste mamma til Storebror 04, Storesøster 06 og Lillebror 10
oslo78 er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 15:03   #39
Mauser
Frafallen
 
Mauser sin avatar
 
Medlem siden: Mar 2008
Innlegg: 5.288
Mauser har en fantastisk fremtidMauser har en fantastisk fremtidMauser har en fantastisk fremtidMauser har en fantastisk fremtidMauser har en fantastisk fremtidMauser har en fantastisk fremtidMauser har en fantastisk fremtidMauser har en fantastisk fremtidMauser har en fantastisk fremtidMauser har en fantastisk fremtidMauser har en fantastisk fremtid
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Opprinnelig lagt inn av oslo78, her.

Er jeg dum nå? Tverrsummen er da fortsatt 9 selv om du kommer mye lenger opp i gangetabellen:

9*12=108
9*13= 117
9*14 = 126
9*15 = 135

Er jeg på bærtur, Mauser?

Det gjelder f eks ikke for 9*11, 9*21, 9*22, ... i første generasjons tverrsum. Men tverrsummen av tverrsummen blir 9. Det hadde vært interessant å se et utvidet bevis for høye n.

__________________
You can't trust girls. When I get a girlfriend I am not going to tell her where I live or work.
Mauser er ikke aktiv   Svar med sitat
Gammel 09-09-09, 15:05   #40
Skilpadda
flisespikker
 
Skilpadda sin avatar
 
Medlem siden: Sep 2006
Hvor: Oslo
Innlegg: 35.075
Blogginnlegg: 673
Skilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme omSkilpadda har et rykte de fleste bare kan drømme om
Standard

Sv: Noen mattekyndige her?

Opprinnelig lagt inn av Mauser, her.

Det gjelder f eks ikke for 9*11, 9*21, 9*22, ...

Tverrsummen er 9 for disse, jo, når den blir redusert (eller hva det nå heter) til ett siffer. Jeg trodde du snakket om formuleringen min i beviset, ikke om selve regelen?

__________________
Skilpadda (mars 1970) og Datteren (des. 2002)
Men are from Earth. Women are from Earth. Deal with it.
Skilpadda er ikke aktiv   Svar med sitat
Svar

Trådverktøy
Visningsmåter

Innleggsregler
Du kan ikke starte nye tråder
Du kan ikke skrive svar
Du kan ikke laste opp vedlegg
Du kan ikke endre dine innlegg

BB code is
[IMG] kode er
HTML kode er Av
Bytt forum


Alle klokkeslett er GMT +2. Klokken er nå 01:48.


Powered by vBulletin
Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Norsk: Lavkarbo.no | Selvrealisering.no
©2006 - 2015, Foreldreportalen.no