Matte, grenseverdi for funksjon når x går mot 0

[valborg]

NEI! Trekker tilbake, hadde lagt inn (1+1,006) ved løsning grafisk... Her stod det masse mjæl som da ikke stemte. Feig og slettet.

[apan]

Det kan hende det finnes en enklere metode, og jeg aner ikke om dere skal kunne denne metoden (kjenner ikke pensum), men dette fungerer:

Sett 0.06x = 1/y
Dette gir at x = 1/0.06y
Dette gjør vi for å få "noe vi kjenner igjen" i uttrykket vårt.

Vi setter dette inn i uttrykket slik at vi får y istedenfor x, og får
1000(1+1/y)^0.06y
Vår "definisjon" av y er slik at når x går mot 0, går y mot uendelig. Altså er det vi nå ser på grenseverdien av uttrykket over når y går mot uendelig.
Vi kan videre skrive om uttrykket til
1000((1+1/y)^y)^0.06

Grenseverdien til (1+1/y)^y når y går mot uendelig, er muligens kjent, den er nemlig e (=2,71828....). Da blir grenseverdien til hele uttrykket
1000 * 2,71828^0.06 = 1061,84

[Elise]

Det er en helt fremmed metode for meg, boka vår bruker kun at en skal undersøke ovenfra og nedenfra.

[apan]

Opprinnelig lagt inn av Elise, her.

Det er en helt fremmed metode for meg, boka vår bruker kun at en skal undersøke ovenfra og nedenfra.

Ja, det er prøve seg frem metoden. Den fungerer jo på en måte alltid, men vil nok neppe bli godkjent med full score hvis man har lært noe annet.

[skyfri]

Opprinnelig lagt inn av valborg, her.

...
men jeg antar du mente at eksponenten var (1/x)? Og at 1000 ikke var en del av potensen?

Det er riktig, ja. Jeg skulle selvsagt tatt med den parantesen i eksponenten.

@apan:

og
Jeg tror jeg sparer den til siden, jeg.
Håper du ikke synes du kaster perler for svin nå ...

[valborg]

Nydelig apan!

Grafisk løsning gir samme svar. (når man taster riktig).

[skyfri]

Nå må vi tilbake til det litt lavere nivået apan, og svare på spørsmål nr 2. Væææærsåsnill.

Men du og Valborg må selvsagt gjerne snakke litt om den fine løsningen din først altså, det er helt i orden det.

[apan]

Opprinnelig lagt inn av skyfri, her.

Det er riktig, ja. Jeg skulle selvsagt tatt med den parantesen i eksponenten.

@apan:

og
Jeg tror jeg sparer den til siden, jeg.
Håper du ikke synes du kaster perler for svin nå ...

Neida. Den var ikke lett den der altså. Og jeg tror ikke det finnes noen annen "teoretisk" måte å gjøre det på. Jeg googlet det forøvrig, og fant et hint da, jeg har garantert lært dette trikset en gang men jeg husket det ikke. Det er "vanlig" å gjøre sånne triks i matte, men man husker jo ikke akkurat triksene til evig tid da...

Angående den andre: Det er veldig lenge siden jeg hadde om argumentasjonen rundt kontinuitet og jeg har ikke undervist det heller, men jeg fant følgende på wikipedia og føler det forklarer det bra:

Sitat:

Dersom en reell funksjon f er gitt ved en formel, så er det upraktisk å bruke definisjonen til å avgjøre om f er kontinuerlig. I stedet bruker man teoremet som sier at dersom funksjonen f er bygget opp av kontinuerlige funksjoner ved operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og sammensetning, så er også f kontinuerlig i hele sin definisjonsmengde.

Det gir i utgangspunktet svaret, da både 1 og x er kontinuerlige funksjoner. Det står også noe spesifikt om f(x) = 1/x:

Sitat:

f(x) = 1/x er kontinuerlig siden f er den kontinuerlige funksjonen 1 delt på den kontinuerlige funksjonen x. Merk at f ikke er diskontinuelig i x = 0, men kun udefinert i dette punktet.

Konklusjon er at du og Anne C har rett, Skyfri. Men pass på argumentasjonen. Sjekk hvordan det er argumentert på lignende oppgaver i boka.

[skyfri]

Du er så god å ha, apan.
I boka står det noe sånt som at "Alle polynomfunksjoner som er definert med en enkel forskrift er kontinuerlige i hele sin definisjonsmengde."

Det blir enda klarere med informasjonen du kom med. Tusen takk.

[valborg]

Opprinnelig lagt inn av skyfri, her.

Nå må vi tilbake til det litt lavere nivået apan, og svare på spørsmål nr 2. Væææærsåsnill.

Men du og Valborg må selvsagt gjerne snakke litt om den fine løsningen din først altså, det er helt i orden det.

Ikke mye å snakke om. apan er guddommelig!

(Men til en annen gang må vi vanlige dødelige huske på å ikke havne i den fella jeg havnet i. Den eneste sikre drøftingen vi kan gjøre må vel knyttes til brøker med x i nevner, der x går mot uendelig og brøken mot null, og det oppnår apan med en vakker substitusjon.)

[apan]

Opprinnelig lagt inn av valborg, her.

Ikke mye å snakke om. apan er guddommelig!

Opprinnelig lagt inn av valborg

(Men til en annen gang må vi vanlige dødelige huske på å ikke havne i den fella jeg havnet i. Den eneste sikre drøftingen vi kan gjøre må vel knyttes til brøker med x i nevner, der x går mot uendelig og brøken mot null, og det oppnår apan med en vakker substitusjon.)

Det var lekkert da?
Fantastisk pent vil jeg si. Jeg er litt i ekstase her ennå. Ok, nå føler jeg kanskje jeg illustrerer hva som er galt med matematikere. Det er litt sånn, Elise, at "prøve seg frem" ikke gir den samme kilingen i magen, det er ikke så elegant liksom.

[Elise]

Huh, jeg sitter da her og kiler i magen jeg og!

[apan]

Opprinnelig lagt inn av Elise, her.

Huh, jeg sitter da her og kiler i magen jeg og!

Ja, men du er jo gått med en matematiker i magen i mange år .

[skyfri]

Min tråd har fått apan i ekstase.
Hun gjorde det jo helt på egenhånd, men likevel.

Jeg skjønner hva du mener apan, og det ikke noe galt i å være så dedikert matematiker. Jeg er stum av beundring.
Jeg som er helt vanlig dødelig, kommer i ekstase når jeg endelig skjønner noe jeg ikke har skjønt før, eller får til å løse en oppgave jeg sliter med.

[apan]

Opprinnelig lagt inn av skyfri, her.

Jeg som er helt vanlig dødelig, kommer i ekstase når jeg endelig skjønner noe jeg ikke har skjønt før, eller får til å løse en oppgave jeg sliter med.

Ja, det er jo det som er morsomt med matte. Jeg er ikke egentlig så dedikert altså, de matematikerne som virkelig er dedikerte er helt gale .

[Chiffre]

Opprinnelig lagt inn av skyfri, her.

Du er så god å ha, apan.
I boka står det noe sånt som at "Alle polynomfunksjoner som er definert med en enkel forskrift er kontinuerlige i hele sin definisjonsmengde."

Jeg vet ikke helt hva som ligger i "en enkel forskrift", men f(x) = 1/x er da ikke en polynomfunksjon?

For øvrig: Meget elegant løsning av apan!

[apan]

Opprinnelig lagt inn av Chiffre, her.

Jeg vet ikke helt hva som ligger i "en enkel forskrift", men f(x) = 1/x er da ikke en polynomfunksjon?

Nei, enig. Jeg fikk ikke kommentert det. Du trenger i så fall et tilleggsteorem, Skyfri, som inneholder omtrent det jeg sa, at hvis man har bygd opp et funksjon av kontinuerlige funksjoner, blir den sammensatte også kontinuerlig. For teller og nevner hver for seg er polynomfunksjoner i 1/x, men 1/x er det ikke.

I enkel forskrift ligger nok at det ikke er delt forskrift. Jeg har ikke hørt "enkel forskrift" før, men jeg tipper det er sånn. Altså samme funksjon for alle x, ikke type delt funksjon hvor det er ett funksjonsuttrykk for noen x og et annet for andre x.

[skyfri]

Jeg ser det dere kommenterer og noterer meg det.
Men det jeg siterte fra boken er det eneste jeg ser som står direkte skrevet om saken.

Jepp, det ser ut til at enkel forskrift betyr at det ikke er delt forskrift.

Det ser ikke ut til at jeg skal begrunne svarene mine så mye, det har ikke vært et tema på innleveringene så langt. Men jeg liker å forstå det jeg driver med, så jeg setter veldig pris på innspillene og korrigeringer.